1° LEZIONE: punto, retta, piano, operazione proiettiva

Per poter entrare a fondo nel campo del disegno dell'architettura bisogna addentrarsi un secondino in un ambito che non alletta molto: la geometria proiettiva! Tranquilli, cercherò di essere più breve possibile! :) 

La geometria elementare riguarda le proprietà dimensionali delle figure, e cioè le dimensioni lineari, angolari, di superficie e volume, le congruenze e le equivalenze.

La Geometria Proiettiva, invece, studia le proprietà delle figure rispetto ad una serie di trasformazioni dette Trasformazioni Proiettive. Tali trasformazioni si ottengono sottoponendo le figure ad operazioni di proiezione (da un punto) e di sezione (con un piano), chiamate entrambe operazioni geometriche fondamentali, poichè sono alla base di qualsiasi operazione proiettiva.

Con tali operazioni la figura subisce alterazioni metriche ma rimangono invariate le proprietà proiettive.

Le proprietà proiettive o invarianti di Poncelet rappresentano quelle proprietà che le figure non perdono quando vengono proiettate da un punto su di un piano. Queste proprietà sono:

1)Appartenenza: se un punto P appartiene ad una retta "r" allora anche la proiezione di P apparterrà alla proiezione di "r".

2)Incidenza: se due rette "r" ed "s" sono incidenti in un punto, allora lo saranno anche le loro proiezioni.

3)Collinearità: se più punti sono allineati, allora lo saranno anche le loro proiezioni.

Andiamo a definire ogni ente geometrico: 

-PUNTO: è un ente adimensionale e si indica con una lettera maiuscola dell’alfabeto (P, Q, S…..)

-RETTA: è un ente ad una sola dimensione, quella della lunghezza. Ha una sola direzione, un verso e si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto (r, s, t……). Può essere considerata come un insieme di infiniti punti allineati (retta punteggiata). Le rette si distinguono per una diversa direzione nel piano. Rette parallele hanno la stessa direzione

-PIANO: è un ente a due dimensioni, lunghezza e larghezza. Si indica con una lettera greca (α, β, γ..) e può essere considerato sia come l’insieme degli infiniti punti di un piano (piano punteggiato) o anche come l’insieme di infinite rette appartenenti ad uno stesso piano (piano rigato).
I piani si distinguono per una diversa giacitura. Le giaciture fondamentali sono quella orizzontale e verticale. Piani paralleli hanno la stessa giacitura. 

Per estensione, lo spazio è un ente tridimensionale.

Ricordiamo, ora, alcuni postulati riguardanti gli enti geometrici:

1) Due punti distinti individuano una ed una sola retta.

2) Tre punti non allineati individuano un piano.

3) Per un punto non appartenente ad una retta "r" può passare una sola retta "s" parallela ad "r".

OPERAZIONE PROIETTIVA

Partendo da un fascio di rette proiettanti uscenti da un centro di proiezione C, un piano di proiezione π ed un punto P estraneo ad π, l'operazione di proiezione avviene attraverso 2 fasi:

1) Proiezione: si unisce il punto P al centro di proiezione C.

2) Sezione: si interpone tra P e C un piano π; il punto di sezione P' è la proiezione di P sul piano π.

Purtroppo, questo tipo di operazione è unidirezionale e non biunivoca, cioè non possiamo definire le qualità spaziali di un oggetto a partire dalla sua proiezione bidimensionale; per far ciò abbiamo bisogno di altri metodi che spiegherò nella prossima lezione! :)

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